가우스 조던 소거법이란?
가우스 조던 소거법(Gauss-Jordan elimination)은 선형 방정식의 해를 구하거나, 역행렬을 계산하는 데 사용되는 알고리즘이다.
이 방식은 다음 세가지 과정을 반복해 해를 구하는 방식이다.
1. 행 교환(Row Exchange): 두 행을 교환하여 주 대각선 요소(pivot element)가 0이 아닌 값이 되도록 한다.
2. 스케일링(Scaling): 주 대각선 요소가 1이 되도록 행의 모든 요소를 동일한 값으로 나눕니다.
3. 행 덧셈(Row Addition): 다른 행의 요소를 사용하여 주 대각선 요소 외의 열의 모든 요소를 0으로 만듭니다.
각 과정이 어떻게 사용되는지 알아보기 위해 예제를 통해 이해해보자.
가우스 조던 소거법 예제
다음과 같은 행렬의 역행렬을 구하기 위해 가우스 조던 소거법을 사용해보자.
$\mathbf{X} = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 \\
-3 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & 2
\end{bmatrix}$
1. 먼저 행렬을 확장해 오른쪽에 단위 행렬을 추가한다.
$\left[\mathbf{X} | \mathbf{I}\right] = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\
-3 & -1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
2. 1번 행을 2로 나눠 첫 번째 열의 첫 번째 원소를 1로 만든다.
$\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & -0.5 & | & 0.5 & 0 & 0 \\
-3 & -1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
3. 2번 행에 1번 행을 3번 더하고, 3번 행에 1번 행을 2번 더해, (2,1) 위치의 원소와 (3,1)위치의 원소를 0으로 만든다.
$\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & -0.5 & | & 0.5 & 0 & 0 \\
0 & 0.5 & 0.5 & | & 1.5 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
4. 2번 행에 2를 곱해 (2,2) 원소를 1로 만든다.
$\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & -0.5 & | & 0.5 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & | & 3 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
5. 3번 행에 2번 행을 두번 빼 (3,2) 원소를 0으로 만든다. 1번 행에 2번행을 0.5 곱한것을 빼 (1,2) 원소를 0으로 만든다.
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & | & -1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & | & 3 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1 & | & -5 & -4 & 1
\end{bmatrix}$
6. 3번 행에 -1을 곱해 (3,3)을 1로 만든다.
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & | & -1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & | & 3 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & | & 5 & 4 & -1
\end{bmatrix}$
7. 1번 행에 3번 행을 더해 (1,3)을 0으로 만들고, 2번 행에 3번 행을 빼 (2,3)을 0으로 만든다.
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 4 & 3 & -1 \\
0 & 1 & 0 & | & -2 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & | & 5 & 4 & -1
\end{bmatrix}$
그러면 이제 오른쪽의 행렬이 역행렬이 된다. 이런 방식으로 가우스 조던 소거법을 통해 역행렬을 구할 수 있다.
$\mathbf{X}^{-1} = \begin{bmatrix}
4 & 3 & -1 \\
-2 & -2 & 1 \\
5 & 4 & -1
\end{bmatrix}$
